Mapa de isolíneas de PPV sobre el plano de mina

1) La vibración como problema espacial

En la primera parte de esta serie calibramos la ley de atenuación USBM PPV = K · SD⁻ᵝ sobre una campaña de monitoreo y estimamos los parámetros del sitio: K = 1065 mm/s y β = 1.6185, con R² = 0.956 en escala log-log. Ese modelo es puntual: entrega la PPV en función de la distancia escalada, sin ubicarla en el espacio.

El cumplimiento de vibraciones, en cambio, es un problema espacial y direccional. Antes de disparar, ingeniería de perforación y voladura debe verificar que cada receptor sensible quede por debajo de su límite regulatorio, y ese problema tiene tres rasgos que una evaluación puntual no captura:

• Es multi-receptor y multi-límite. Un mismo disparo expone simultáneamente a estructuras distintas (una vivienda, una caseta industrial, el portal de una labor, la cresta de un talud instrumentado), cada una con un límite normativo diferente (12.5 mm/s residencial, 50.8 mm/s industrial, criterios geotécnicos) y a distancias y azimuts distintos del disparo.
• Es un campo, no un punto. La excedencia se localiza: hay una región del plano donde la carga supera el límite y otra donde cumple. Cartografiar esa región es más informativo que una tabla de distancias, y liga la vibración con la carga operante por retardo en el diseño del disparo.
• Es incierto y anisótropo. La atenuación real no es igual en toda dirección (geología, topografía, orientación de la cara libre). El mapa debe reflejar tanto la dispersión estadística del ajuste como la heterogeneidad del sitio.

La herramienta que responde a esto es un mapa de isolíneas de PPV (curvas de igual velocidad de partícula), análogo a un mapa topográfico pero de vibración. Sobre él trazamos la isolínea del límite normativo de cada receptor: dentro hay excedencia, fuera hay cumplimiento. Convertimos así una ley empírica en una herramienta de planificación y cumplimiento trazable.

2) Marco teórico

2.1) El campo espacial de PPV

La ley USBM relaciona la PPV con la distancia escalada SD = D / √W, donde D es la distancia al disparo (m) y W la carga máxima por retardo (kg). Sustituyendo en PPV = K · SD⁻ᵝ:

Fijada la carga W, la PPV en cada punto del plano depende únicamente de la distancia a la voladura D(x,y). Evaluando esta expresión sobre una malla 2D obtenemos un campo escalar de PPV, que luego contorneamos en isolíneas.

2.2) Distancia al polígono del disparo, no a un punto

Un disparo de producción no es un punto: es un polígono de taladros (el round). Medir la distancia al centroide sobreestima la PPV en el campo cercano. Por eso usamos la distancia al borde más cercano del polígono: así las isolíneas abrazan la forma real del round cerca del disparo y solo tienden a circunferencias a lo lejos. El interior del polígono se enmascara, porque la fórmula diverge cuando D → 0.

2.3) Incertidumbre: mapa medio y mapa P95

El Parte 1 mostró que los residuos del ajuste son normales en log₁₀ con desviación σ ≈ 0.110. La PPV real de un disparo se dispersa alrededor de la predicción media, así que para diseño conservador no se usa la media sino la banda superior de predicción. El percentil 95 unilateral es un factor multiplicativo constante sobre el mapa medio:

2.4) Límites normativos y frontera de cumplimiento

La isolínea del límite de cada receptor divide el plano en zona de cumplimiento y zona de excedencia. Por la forma potencial de la ley, esa isolínea (para fuente puntual) es una circunferencia de radio D_lim = √W · (K / PPV_lim)^(1/β).

2.5) Reglas de campo en forma cerrada

De la misma ley se despejan dos reglas de uso directo en el frente:

La primera da la distancia mínima segura para una carga dada; la segunda, la carga máxima por retardo admisible para un receptor a distancia D.

2.6) Limitaciones

3) Datos: el plano de mina

3.1) Geometría del escenario

Definimos un sector de rajo sintético en una grilla local en metros: el contorno del rajo, el polígono de disparo con su carga por retardo, y cuatro receptores con sus límites normativos. Todo es determinístico y reproducible.

3.2) Receptores y límites

4) Implementación en Python

4.1) Librerías y parámetros heredados

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.path import Path
import plotly.graph_objects as go

# Ley del sitio heredada del Parte 1 (ajuste USBM)
K_SITE    = 1065.44     # mm/s
BETA      = 1.6185      # exponente de atenuación
SIGMA_LOG = 0.110       # desviación de residuos en log10 (Parte 1)
F_P95     = 10 ** (1.645 * SIGMA_LOG)   # factor medio -> P95 (~1.52)
W_DELAY   = 500.0       # carga máxima por retardo (kg)

4.2) Geometría del plano y receptores

# Polígono de disparo (round), coords locales en m
blast = np.array([(240, 310), (370, 300), (380, 400), (255, 405)], dtype=float)

# Receptores: nombre, coords, límite normativo (mm/s)
receptores = pd.DataFrame([
    ('Poblado',               720, 610, 12.5, 'Residencial'),
    ('Caseta de operaciones',  60, 120, 50.8, 'Industrial'),
    ('Portal / bocamina',     640, 150, 50.0, 'Estructura'),
    ('Cresta de talud',       230, 530, 100.0, 'Geotecnico'),
], columns=['receptor', 'x', 'y', 'limite_mm_s', 'tipo'])

4.3) Distancia al polígono del disparo (vectorizada)

Para cada punto se calcula la distancia mínima a los segmentos del polígono, operando sobre toda la malla a la vez.

def dist_a_poligono(px, py, poly):
    """Distancia de cada punto (px, py) al borde del polígono."""
    P = np.column_stack([px.ravel(), py.ravel()])
    best = np.full(P.shape[0], np.inf)
    n = len(poly)
    for i in range(n):
        a, b = poly[i], poly[(i + 1) % n]
        ab = b - a
        t = np.clip(((P - a) @ ab) / (ab @ ab), 0.0, 1.0)
        proj = a + t[:, None] * ab
        best = np.minimum(best, np.linalg.norm(P - proj, axis=1))
    return best.reshape(px.shape)

4.4) Campo de PPV sobre la malla

Evaluamos PPV(x,y) = K · W^(β/2) · D^(-β) en cada nodo. Enmascaramos el interior del polígono y ponemos un piso físico de 8 m a la distancia (nadie mide a 0 m del disparo). El campo conservador es el medio por el factor P95.

NX, NY = 420, 320
xx = np.linspace(0, 1050, NX)
yy = np.linspace(0, 780, NY)
XX, YY = np.meshgrid(xx, yy)

D = dist_a_poligono(XX, YY, blast)
dentro = Path(blast).contains_points(np.column_stack([XX.ravel(), YY.ravel()])).reshape(XX.shape)
D = np.where(dentro, np.nan, np.maximum(D, 8.0))

def campo_ppv(D, W=W_DELAY):
    return K_SITE * (W ** (BETA / 2)) * D ** (-BETA)

PPV_media = campo_ppv(D)
PPV_p95   = PPV_media * F_P95

5) Mapa de isolíneas con Matplotlib

5.1) Mapa medio con frontera de cumplimiento

Rellenamos el campo con una escala de color, trazamos isolíneas etiquetadas en mm/s y resaltamos la isolínea de 12.5 mm/s (límite residencial) como frontera de cumplimiento. Superponemos el polígono de disparo, el contorno del rajo y los receptores.

La lectura es inmediata: la línea negra (12.5 mm/s) encierra la zona donde una estructura residencial excedería el límite. En el mapa medio, todos los receptores caen fuera de ella. Pero la media no es el criterio de diseño.

5.2) Mapa medio vs P95: la frontera se expande

El mapa conservador desplaza la frontera de cumplimiento hacia afuera. Comparamos la isolínea de 12.5 mm/s en ambos escenarios.

6) Evaluación de receptores

Para cada receptor calculamos su distancia al disparo y su PPV media y P95, contra el límite propio.

filas = []
for _, r in receptores.iterrows():
    Dr = dist_a_poligono(np.array([[r.x]], float), np.array([[r.y]], float), blast)[0, 0]
    pm = campo_ppv(np.array(Dr)).item()
    pp = pm * F_P95
    filas.append({'receptor': r.receptor, 'D_m': round(Dr), 'PPV_media': round(pm, 1),
                  'PPV_P95': round(pp, 1), 'limite': r.limite_mm_s,
                  'cumple_media': 'OK' if pm < r.limite_mm_s else 'EXCEDE',
                  'cumple_P95':   'OK' if pp < r.limite_mm_s else 'EXCEDE'})
pd.DataFrame(filas)

El receptor de mayor PPV es la cresta de talud (a 127 m del disparo, 64 mm/s), pero su tolerancia geotécnica (100 mm/s) la mantiene holgada. El vinculante es el poblado: la PPV más baja de la tabla, pero con el límite más estricto, y en el escenario P95 lo supera.

7) El campo realista: heterogeneidad, direccionalidad y topografía

El mapa base supone un macizo homogéneo y una fuente radial, y por eso sus isolíneas salen suaves. Un campo real es anisótropo. Modelamos esa realidad con un factor de sitio M(x,y) que multiplica la PPV media e integra tres efectos, cada uno documentado y reproducible:

• Direccionalidad M_dir: la cara libre y la secuencia de iniciación enfocan energía en una dirección. Se modela como 1 + A·cos(θ − θ₀), con θ₀ el azimut de la cara libre (aquí, hacia el poblado) y A = 0.22 (±22 % entre el frente y la espalda del disparo).
• Heterogeneidad geológica M_geo: K y β varían en el espacio (litologías, fracturamiento, agua). Se representa con un campo suave de baja frecuencia (semilla fija) más una zona más fracturada que amplifica hacia el poblado.
• Topografía M_topo: amplificación en una banda a lo largo de la cresta del rajo (+15 %).

cen = blast.mean(axis=0)                        # centroide del disparo
th0 = np.arctan2(610 - cen[1], 720 - cen[0])    # azimut disparo -> poblado (cara libre)
A_DIR = 0.22

def modificador(X, Y):
    m_dir = 1 + A_DIR * np.cos(np.arctan2(Y - cen[1], X - cen[0]) - th0)   # direccionalidad
    m_geo = np.ones_like(X, dtype=float)                                   # heterogeneidad
    rng = np.random.default_rng(11)
    for _ in range(5):
        ax_, ay_ = rng.uniform(0.4, 1.4, 2) / 1000; ph = rng.uniform(0, 2 * np.pi, 2)
        m_geo += rng.uniform(0.04, 0.08) * np.sin(ax_ * X + ph[0]) * np.cos(ay_ * Y + ph[1])
    m_geo *= 1 + 0.15 * np.exp(-(((X - 720) / 380) ** 2 + ((Y - 600) / 320) ** 2))
    pd_ = np.min(np.sqrt((X[..., None] - pit[:, 0]) ** 2 + (Y[..., None] - pit[:, 1]) ** 2), axis=-1)
    m_topo = 1 + 0.15 * np.exp(-(pd_ / 50) ** 2)                           # topografía
    return m_dir * m_geo * m_topo

PPV_real = PPV_media * modificador(XX, YY)

Las isolíneas del campo realista son lobuladas: la frontera de 12.5 mm/s se abulta hacia el poblado (dirección de la cara libre y zona más fracturada) y se contrae hacia la caseta (a la espalda del disparo). El punto de mayor PPV deja de coincidir con el disparo y la forma abandona la simetría radial.

Reevaluando los receptores bajo el campo realista, el efecto endurece la conclusión anterior:

Los parámetros de M(x,y) son ilustrativos. En un caso real se calibran con registros de geófonos distribuidos y, típicamente, interpolando (kriging) las mediciones de varias voladuras: el mapa base es para planificación; el campo realista exige datos de sitio.

8) Mapa interactivo con Plotly

La versión interactiva permite pasar el cursor por cualquier punto del plano y leer la PPV, hacer zoom y aislar receptores. Es la misma data del mapa estático, ahora explorable.

El código que la genera es una figura de Plotly con una traza Contour para el campo de PPV, una segunda Contour aislando la isolínea de 12.5 mm/s, y trazas Scatter para el polígono de disparo y los receptores. Se exporta como fragmento HTML autocontenido:

fig.write_html('ppv_interactivo.html', include_plotlyjs='cdn', full_html=True)

9) Reglas de campo

9.1) Distancia mínima segura

Dado un límite y una carga por retardo, D_min = √W · (K / PPV_lim)^(1/β). Es el radio de la isolínea del límite en el mapa medio.

Distancia mínima segura D_min (m) por carga por retardo y límite de PPV.

9.2) Carga máxima por retardo por receptor

W_max = (PPV_lim / K)^(2/β) · D². Es la regla que usa el supervisor: dada la distancia al receptor y su límite, la carga máxima que puede detonar por retardo. La calculamos en el escenario medio y en el conservador P95.

La carga máxima por retardo que satisface a todos los receptores en el escenario conservador la fija el vinculante: 393 kg, el poblado.

9.3) Rediseño: un disparo que cumple al P95

El disparo actual (500 kg/retardo) satisface a todos en la media, pero el poblado excede al P95. Aplicamos una carga de diseño con margen sobre ese límite (350 kg) y volvemos a mapear el escenario conservador.

Con 350 kg/retardo la frontera de cumplimiento se contrae lo suficiente para que el poblado quede fuera incluso en el mapa P95 (11.4 mm/s). El costo es operativo (más retardos, disparos más secuenciados), y esa es la compensación que el mapa pone sobre la mesa con evidencia.

10) Conclusiones operativas

• La ley USBM calibrada en la primera parte (K = 1065, β = 1.6185) se lleva al plano como un campo de PPV y se contornea en isolíneas: el mapa muestra de un vistazo dónde una carga cumple y dónde excede.
• Usar la distancia al polígono del disparo (no al centroide) hace que las isolíneas cercanas sigan la forma real del round; a lo lejos tienden a circunferencias.
• El mapa P95 (× 1.52 sobre la media, derivado de σ = 0.110 de la primera parte) desplaza la frontera de cumplimiento hacia afuera. Diseñar con la media subestima el riesgo; el criterio conservador usa el P95.
• La restricción de diseño la fija el receptor vinculante: en este caso el poblado, con la PPV más baja pero el límite más estricto. No es el más cercano ni el de mayor vibración.
• El campo realista (heterogeneidad + direccionalidad + topografía) deforma las isolíneas y, en la dirección de la cara libre, lleva al poblado a exceder ya en la media (16.7 mm/s): el modelo homogéneo subestima el riesgo donde la geometría del disparo enfoca la energía.
• Bajar la carga de 500 a 350 kg/retardo devuelve el cumplimiento del poblado en el escenario P95. El mapa convierte la ley de atenuación en una decisión de carga por retardo auditable.

El flujo es reproducible de principio a fin y se conecta con el monitoreo real: cada campaña recalibra K y β (primera parte), el factor de sitio M(x,y) y actualiza el mapa.

11) Referencias