Análisis en frecuencia de una onda de voladura

1) El PPV dice cuánto, la frecuencia dice cuánto daña

En la Parte 1 predijimos la magnitud de la vibración (el PPV) y en la Parte 2 la mapeamos sobre el plano. Falta la otra mitad del problema, la que el Parte 1 dejó anotada como pendiente: la frecuencia.

Un geófono no mide un número: registra una señal en el tiempo, la velocidad de partícula del suelo durante los milisegundos que dura el evento. El PPV es apenas el pico de esa traza. Reducir toda la onda a su pico descarta una variable que la ingeniería de daño considera tan importante como la amplitud: su contenido en frecuencia.

2) Marco teórico

2.1) La señal en el tiempo

La salida del sismógrafo es una serie temporal v(t): velocidad de partícula (mm/s) muestreada a una frecuencia de muestreo fs (aquí 1000 Hz, un muestreo por milisegundo). El PPV es max|v(t)|. La señal de una voladura es transitoria y multi-pulso: cada retardo de la secuencia aporta un paquete de ondas que se superponen.

2.2) Fourier y la transformada rápida (FFT)

El teorema de Fourier dice que cualquier señal puede escribirse como suma de senoidales de distintas frecuencias, amplitudes y fases. La Transformada de Fourier obtiene esas componentes; la FFT (Fast Fourier Transform) la calcula de forma eficiente. El resultado es el espectro: amplitud en función de la frecuencia. Dos límites gobiernan lo que puede resolver:

• Nyquist fs/2 es la máxima frecuencia representable (500 Hz aquí). Por encima aparece aliasing.
• Resolución Δf = fs/N es la separación entre líneas del espectro. Más señal (mayor N) da mejor resolución.

2.3) Fugas espectrales y ventanas

La FFT asume que la señal es periódica en la ventana analizada. Una voladura no lo es: los extremos no empatan y la energía de cada componente se derrama hacia frecuencias vecinas (spectral leakage). Multiplicar la señal por una ventana que va suavemente a cero en los bordes (la de Hann es la estándar) reduce esa fuga y afina los picos.

2.4) Frecuencia dominante

La frecuencia dominante es la del pico del espectro: donde se concentra la energía. La normativa a veces la estima por el conteo de cruces por cero alrededor del pico de la señal; ambas suelen coincidir, pero la del espectro es más robusta cuando hay varios modos.

2.5) Filtrado

La traza cruda trae contaminación que no es vibración del terreno: deriva de línea base (muy baja frecuencia, del sensor) y ruido de banda ancha. Un filtro pasa-banda (Butterworth, típicamente de 2 a 250 Hz en sismógrafos de voladura) los remueve. Se aplica con fase cero (filtfilt, hacia adelante y hacia atrás) para no desplazar los picos en el tiempo.

2.6) Límites que dependen de la frecuencia

Las guías más usadas fijan el PPV admisible en función de la frecuencia dominante:

La lógica es la misma: a baja frecuencia, el límite baja, porque ahí la estructura resuena. Un límite plano (usar 12.5 mm/s para todo, como simplificación) ignora esto y puede aprobar un evento que la norma completa rechaza.

3) Datos: la forma de onda

Generamos una traza sintética físicamente plausible: un tren de pulsos (los retardos) que excitan varios modos amortiguados, más deriva de línea base y ruido. El modo dominante se ubica en una frecuencia baja (cerca de la resonancia estructural), el caso interesante para cumplimiento.

4) Implementación en Python

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy import signal as sps
from scipy.fft import rfft, rfftfreq

FS = 1000.0
rng = np.random.default_rng(2026)

N = 1000
t = np.arange(N) / FS
delays = [0.000, 0.021, 0.038, 0.060, 0.079, 0.101, 0.122]   # secuencia de retardos
amps   = [1.00, 0.85, 0.90, 0.70, 0.60, 0.50, 0.40]
modos  = [(9.0, 0.055, 1.00), (28.0, 0.10, 0.50), (45.0, 0.14, 0.28)]  # (frec, amortiguamiento, peso)

limpia = np.zeros(N)
for t0, a in zip(delays, amps):
    tau = t - t0; m = tau >= 0
    for fr_, z, w in modos:
        limpia[m] += a * w * np.exp(-z * 2*np.pi*fr_ * tau[m]) * np.sin(2*np.pi*fr_ * tau[m])

limpia *= 11.0 / np.max(np.abs(limpia))          # PPV de la señal limpia = 11 mm/s
v = limpia + 1.4*np.sin(2*np.pi*0.6*t + 0.7) + rng.normal(0, 0.55, N)   # + deriva + ruido

5) La señal en el tiempo y el filtrado

El PPV es el pico absoluto de la traza. Pero la traza cruda trae deriva y ruido. Un Butterworth de orden 4 entre 2 y 250 Hz, de fase cero, los remueve:

b, a = sps.butter(4, [2, 250], btype='band', fs=FS)
v_filt = sps.filtfilt(b, a, v)

Con un límite plano de 12.5 mm/s (la simplificación habitual), el evento de 12.0 mm/s cumpliría. Pero el límite no es plano.

6) El espectro y la frecuencia dominante

Calculamos el espectro de amplitud con rfft. Sin ventana, la fuga espectral ensancha la base de los picos; la ventana de Hann los afina.

def espectro(x, win=None):
    w = np.ones(len(x)) if win is None else win
    amp = np.abs(rfft(x * w)) * 2 / np.sum(w)     # amplitud de un lado, normalizada
    return rfftfreq(len(x), 1/FS), amp

hann = sps.windows.hann(len(v_filt))
f, A = espectro(v_filt, hann)
f_dom = f[f >= 2][np.argmax(A[f >= 2])]           # ignora la componente casi-DC

Con Nyquist en 500 Hz y una resolución Δf = 1.0 Hz, el espectro resuelve el evento con holgura. El pico domina claramente:

La energía se concentra en 9 Hz, justo dentro de la banda de resonancia residencial (4 a 12 Hz). Los modos de 28 y 45 Hz aportan menos porque están más amortiguados: decaen rápido y dejan poca energía. La dominante baja, en cambio, apenas se amortigua y resuena.

7) El espectrograma: cómo evoluciona la frecuencia

La FFT da el espectro de toda la ventana, pero una voladura es transitoria. El espectrograma (STFT) muestra la energía en el plano tiempo-frecuencia, y los pulsos de los retardos aparecen como columnas.

f_sp, t_sp, Sxx = sps.spectrogram(v_filt, fs=FS, nperseg=128, noverlap=112, window='hann')

La banda de 9 Hz persiste durante todo el evento (el modo que resuena), mientras el contenido alto aparece y decae con cada pulso. Esa persistencia de la baja frecuencia es lo que la hace peligrosa: mantiene a la estructura excitada cerca de su resonancia.

8) Cumplimiento que depende de la frecuencia

Unimos magnitud y frecuencia. Ubicamos el evento (frecuencia dominante, PPV) sobre la curva de DIN 4150-3 y lo comparamos con el límite plano.

def limite_din(f):
    """DIN 4150-3, edificaciones residenciales, cimentación (mm/s)."""
    if f < 10:  return 5.0
    if f < 50:  return 5.0 + (15.0 - 5.0) * (f - 10) / 40.0
    if f < 100: return 15.0 + (20.0 - 15.0) * (f - 50) / 50.0
    return 20.0

9) Conclusiones

• La vibración de una voladura es una señal en el tiempo, no un número. Reducirla al PPV descarta su contenido en frecuencia, que la ingeniería de daño trata como igual de importante.
• La FFT entrega el espectro; la ventana de Hann controla la fuga y afina los picos. Nyquist (fs/2) y la resolución (Δf = fs/N) fijan lo que se puede resolver.
• El filtrado pasa-banda de fase cero (2 a 250 Hz) remueve deriva y ruido: el PPV cae de 13.2 a 12.0 mm/s. Juzgar sobre la traza cruda habría dado un falso positivo de excedencia.
• La frecuencia dominante (9 Hz) cae en la banda de resonancia residencial. Contra el límite plano el evento cumple; contra la curva DIN 4150-3 excede por 2.4 veces. La frecuencia decide.
• Este taller cierra la trilogía de vibraciones: magnitud (Parte 1), distribución espacial (Parte 2) y contenido en frecuencia (Parte 3). Un límite de voladura sin frecuencia está incompleto.

10) Referencias